Geometria wykreślna. Co warto o niej wiedzieć?

Co to jest geometria wykreślna?

Geometria wykreślna to nauka zajmująca się metodami kreślenia obiektów trójwymiarowych na płaskiej płaszczyźnie. Powstała pod koniec XVIII wieku. Jej twórcą był Gaspard Monge, francuski matematyk, fizyk i chemik. Do wzbogacenia geometrii wykreślnej przyczynił się polski matematyk Kazimierz Bartel, od 1917 roku profesor zwyczajny Politechniki Lwowskiej.

Podstawowym celem geometrii wykreślnej jest odwzorowanie figur przestrzennych na dwuwymiarowej płaszczyźnie (rzutni), czyli rzutowanie, za pomocą równoległych lub przecinających się w jednym punkcie prostych rzutujących. 

Choć geometria wykreślna jest coraz bardziej wypierana przez obrazowanie komputerowe, to nadal jest stosowana w architekturze, budownictwie i geodezji. Rozwija bowiem wyobraźnię przestrzenną. 

Geometria wykreślna - krok po kroku

Pojęciami podstawowymi w geometrii wykreślnej są:

• punkt
• prosta
• płaszczyzna.

Punkt nie ma wymiaru (jest nieskończenie mały), na rysunkach oznacza się go najczęściej małym kółkiem i opisuje symbolem np. "A". Prosta to linia biegnąca przez dwa dowolne nie pokrywające się punkty w przestrzeni, nieskończenie długa (nie ma początku ani końca), oznaczana jest na rysunkach zwykle małą literą alfabetu, np. "m”. Płaszczyzna z kolei to zbiór punktów w przestrzeni wyznaczany przez co najmniej trzy nie pokrywające się ze sobą punkty lub przez prostą i punkt nie należący do tej prostej. Płaszczyzna nie ma wymiaru (szerokości, długości, grubości). W geometrii płaszczyzny oznaczane są literami alfabetu greckiego np. "α","β". Związki między elementami podstawowymi tworzą tzw. aksjomaty geometrii.

W geometrii wykreślnej pojawiają się także elementy niewłaściwe. Punkt niewłaściwy to punkt w nieskończoności, do którego biegnie prosta. Ponieważ ten punkt wyznacza prosty kierunek, zwany jest często "kierunkiem prostej" i oznaczany jest dużą literą z indeksem nieskończoności, np. A¥. Zbiór wszystkich punktów niewłaściwych na płaszczyźnie nazywamy "prostą niewłaściwą", a zbiorem wszystkich punktów niewłaściwych i prostych niewłaściwych jest płaszczyzna niewłaściwa.

Jeżeli wszystkie proste rzutujące przechodzą przez jeden punkt wspólny, zwany środkiem rzutów, to jest to rzut środkowy. Gdy proste rzutujące mają wspólny kierunek, jest to rzut równoległy. 

Geometria wykreślna - dachy

Geometria wykreślna odgrywa szczególną rolę w budownictwie przy projektowaniu konstrukcji dachowych. Aby bowiem dach spełniał swe zadania (w naszym klimacie przede wszystkim właściwie odprowadzał wodę), jego konstrukcja wymaga opanowania umiejętności właściwego zapisu. Praca zaczyna się od analizy kształtu dachu, a następnie jego ewentualnej modyfikacji. Rozwiązywanie geometrii dachu opiera się na wyznaczaniu połaci dachowych w oparciu o linie konturu dachu, który jest zazwyczaj odzwierciedleniem obrysu ścian zewnętrznych budynku. Ale kształt dachu zależeć będzie nie tylko od podstawy, ale także od proporcji jego boków.  

Geometria wykreślna - kłady

Kład to obrót płaszczyzny wokół osi, leżącej na jednej z rzutni lub równoległej do rzutni, o taki kąt, aby po obrocie płaszczyzna zjednoczyła się z nimi. Kład jest stosowany w celu znalezienia rzeczywistych wymiarów obiektów leżących na płaszczyźnie: jeden z rzutów prostokątnych obróconej płaszczyzny odzwierciedla związki miarowe tej płaszczyzny, tj. odległości, kąty, kształty figur.

Geometria wykreślna - perspektywa

W geometrii wykreślnej perspektywa to takie rzutowanie obiektu, gdzie wszystkie punkty obiektu są zbieżnie do punktu obserwatora.

Istnieją trzy rodzaje perspektyw:

• z jednym punktem zbiegu (jednozbieżna);
• z dwoma punktami zbiegu (dwuzbieżna)
• z trzema punktami zbiegu (trójzbieżna)

W perspektywie jednobieżnej wszystkie linie prostopadłe do płaszczyzny obserwacji zbiegają się w jednym punkcie. Większość płaszczyzn obiektu jest ustawionych albo równolegle do płaszczyzny obserwacji, albo prostopadle. Przy takim rzutowaniu wszystkie płaszczyzny równoległe zachowują swój kształt, natomiast zmienia się ich skala (wielkość). 

W perspektywie dwuzbieżnej większość płaszczyzn obiektu jest ustawiona pod kątem względem płaszczyzny obserwacji. Na rysunku powstają dwie grupy linii, które zbiegają się w jednym z dwóch punktów. W rzeczywistości są one równoległe, a każda linia z grupy pierwszej jest w rzeczywistości prostopadła do każdej linii z grupy drugiej.

Perspektywa trójzbieżna ma trzy punkty zbieżności. Odcinki zbiegające się w jednym punkcie w rzeczywistości są do siebie równoległe, a te z dwóch różnych punktów zbiegu są w rzeczywistości prostopadłe względem siebie.

Geometria wykreślna – transformacje

Transformacje w geometrii wykreślnej pozwalają obejrzeć obiekt z każdej strony. Ukazują rzeczywiste jego wymiary, kąty między prostymi, odcinkami, ścianami, odległości. Do transformacji należą m.in. kłady. Transformację wykonuje się poprzez wyznaczenie dodatkowych rzutni prostopadłych lub równoległych do danego obiektu. W geometrii wykreślnej można dokonać transformacji położenia, odwzorowania lub układu odniesienia.